На нашем предприятии тоже частенько стажируются иностранцы и мы уже полностью наладили работу в этом направлении. С жильем проблем никогда не было, а вот страхование приходилось заказывать в различных компаниях. В последнее время мы заказываем дмс для иностранных граждан https://kaplife.ru/life-insurance/guest-health/ в компании "КАПИТАЛ LIFE". Здесь нас уже наработаны связи и мы сразу подготавливаем все, необходимые документы, чтобы ускорить процесс. Советую и вам обратиться в эту компанию за помощью.